MATEMATICAS BASICAS
PROGRAMA: GENERAL
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA AUTONOMA DEL PACIFICO (VILLA RICA – CAUDA)
TUTOR: ELICEO GARCIA SARRIA
TEMA 2: FACTORIZACION
Factorización
La factorización o descomposición factorial es el proceso de presentar una expresión matemática o un número en forma de multiplicación. Recordemos que los factores son los elementos de la multiplicación y el resultado se conoce como producto.
Tipos de factorización
En líneas generales, podemos hablar de dos tipos de factorización: la factorización de números enteros y la factorización de expresiones algebraicas.
Factorización en números primos
Todo número entero se puede descomponer en sus factores primos. Un número primo es aquel que es divisible unicamente entre 1 y el mismo. Por ejemplo, el 2 solo se puede dividir entre 1 y 2.
Podemos descomponer un número dado X como la multiplicación de sus factores primos. Por ejemplo, el número 525 es igual a la multiplicación de 52.3.7.
Factorización de expresiones algebraicas
El objetivo de la factorización es llevar un polinomio complicado y expresarlo como el producto de sus factores polinomiales simples.
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión. Por ejemplo:
Cómo factorizar
Cuando hablamos de factorizar, podemos seguir las siguientes recomendaciones:
1. Observar si hay un factor común, esto es, si hay un factor que se repita en los diferentes términos.
2. Ordenar la expresión: a veces al arreglar la expresión nos percatamos de las posibilidades de factorización.
3. Averiguar si la expresión es factorizable: en ocasiones estamos en presencia de expresiones que no pueden ser descompuestas en factores.
4. Verificar si los factores hallados son a su vez factorizables.
Pasos para hallar el factor común de un polinomio
Vamos a explicar paso a paso cómo encontrar el factor común para los términos en el siguiente polinomio:
Paso 1
Conseguimos el mayor factor común de 24 y 16. Los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24; los factores del 16 son 1, 2, 4, 8 y 16. El mayor factor común es el 8.
Paso 2
Conseguimos los factores comunes de las variables, en este caso las variables comunes con la mayor potencia común. La variables comunes son x y y. La mayor potencia común de x es x6 y la mayor potencia común de y es y3.
Paso 3
Escribimos el factor común del polinomio como como el producto de los pasos 1 y 2 anteriores:
Factorización de polinomios
Vamos a factorizar el siguiente polinomio:
Paso 1
Determinamos el factor común del polinomio:
Paso 2
Reescribimos cada término del polinomio como un producto equivalente del factor común y el segundo factor:
Nota: 8x6y3(3x2)- 8x6y3(2y4z3) no es la forma factorizada porque aún no están separados los factores.
Paso 3
Usamos la propiedad distributiva para sacar el factor común:
Paso 4
Revisamos los pasos realizados:
Factorización cuatro términos
Podemos factorizar un polinomio de cuatro términos agrupándolos en pares. Veamos el siguiente ejemplo:
Paso 1
Rearreglamos los términos tal que los dos primeros tengan un factor común y los otros dos tengan también un factor común:
Paso 2
Factorizamos la x del primer término y la y como factor común del segundo término:
Paso 3
Usamos la propiedad distributiva para factorizar el término (a+b) de la expresión:
Factorización de trinomios cuadrados perfectos
Un trinomio cuadrado perfecto es aquel donde el valor absoluto del coeficiente b es igual al doble del producto de las raíces de a y c:
Por ejemplo, en la ecuación 4x2-20x+25, a=4, b=-20, c=25, entonces:
Esto indica que 4x2-20x+25 puede factorizarse como el cuadrado de un binomio:
El primer término será la raíz cuadrada de 4x2 y el último término es la raíz cuadrada de c:
El signo en el binomio es el mismo del término medio del trinomio.
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